用数学归纳法证明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除

当n=1时
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=x+y
(x+y)/(x+y)=1
能被x+y整除。

假设当n=k(k为整数，且k>=2)时，x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除，

则当n=k=1时

令x^(2k-1)+y^(2k-1)=A(x+y)
则x^(2k-1)=A(x+y)-y^(2k-1)

x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k-1+2)+y^(2k-1+2)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*[A(x+y)-y^(2k-1)]+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)-x^2y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(y^2-x^2)*y^(2k-1)
=x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)

两项中均含x+y

[x^2*A(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)]/(x+y)
=Ax^2+(y-x)*y^(2k-1)为整数

能被x+y整除。

综上，x^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除

（1）当n=1时，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y,显然可以被x+y整除。
（2）假设当n=k时，命题成立，即x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除，则当n=k+1时，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2(x^(2k-1)+y^(2k-1))-y^(2k-1)*(x-y)*(x+y),也可以被x+y整除，即n=k+1时，假设也成立。
由（1），（2）可得，对于一切正整数n，x^（2n-1）+y^（2n-1）都能被x+y整除

(1)n=1时,成立
(2)设n=k时,成立
(x^(2k-1)+y^(2